卷積神經網路與物件偵測｜機器學習筆記

本章內容

10.1為什麼用卷積
10.2卷積層
10.3池化層與全連接層
10.4計算範例
10.5經典架構
10.6物件偵測
10.7交併比與非極大值抑制
10.8兩階段偵測器
10.9參考資料

影像是維度極高的資料：一張 224×224 的彩色照片就有超過 15 萬個數值。如果用第 7 章的全連接網路直接處理，第一個隱藏層只要有 1,000 個單元，就需要約 1.5 億個權重，不但難以訓練，也完全忽略了「相鄰像素彼此相關」的空間結構。卷積神經網路（Convolutional Neural Network, CNN）改用小型濾波器在影像上滑動，以很少的參數擷取局部特徵，再一層層組合成更抽象的表示，是電腦視覺的基礎架構。

本章前半整理 CNN 的基本元件、尺寸與參數的計算方式，以及幾個經典架構；後半進入物件偵測（object detection）。物件偵測的部分最初整理自一個車輛偵測（car detection）專案的學習筆記，以 YOLO 為主線，依序串起分類、定位、特徵點偵測、滑動視窗、交併比、非極大值抑制與錨框等概念，最後再補充兩階段偵測器 R-CNN 系列作為對照。

10.1為什麼用卷積Why Convolutions

卷積層相較於全連接層，有兩個關鍵的結構優勢：

參數共享（parameter sharing）：一個濾波器（filter）就像一個滑動視窗，在整張影像上移動，每個位置都使用同一組權重。能偵測垂直邊緣的特徵偵測器，在影像左上角有用，在右下角通常也一樣有用，因此不需要為每個位置各學一份參數。
連接稀疏性（sparsity of connections）：每一個輸出值只與輸入中的一小塊區域（感受野，receptive field）相連，而不是與所有輸入相連。

兩者合起來，使卷積層的參數量只取決於濾波器的大小與數量，與輸入影像的尺寸無關。以本章計算範例的第一層為例：把 32×32×3 的輸入轉換成 28×28×6 的輸出，卷積層只需要 456 個參數；若改用全連接層，則需要 3,072 × 4,704 ≈ 1,445 萬個權重。參數共享還帶來平移等變性（translation equivariance）：物體在影像中平移，它在特徵圖上引起的反應也跟著平移，這正是辨識影像時需要的性質。

10.2卷積層Convolution Layer

濾波器與輸出深度

濾波器又稱卷積核（kernel），大小為 $f \times f \times c_{\text{in}}$ ： $f$ 是邊長，常見的有 1、3、5；深度 $c_{\text{in}}$ 必須等於輸入的通道數，例如 RGB 影像為 3。濾波器在每個位置與對應的區塊逐元素相乘，再把所有通道的結果加總、加上一個偏差（bias） $b$ ，得到一個數值；滑過整張輸入後，就得到一張二維的特徵圖（feature map），之後通常再套用 ReLU 等非線性激勵函數。

使用 $K$ 個濾波器，就得到 $K$ 張特徵圖，疊起來成為深度為 $K$ 的輸出。換句話說，輸出的深度由濾波器的數量決定，與輸入的通道數無關。每個濾波器看的是同一塊空間區域，但各自學習尋找不同的特徵，例如不同方向的邊緣或不同的顏色組合。

嚴格來說，深度學習中的「卷積」是互相關（cross-correlation）：數學上的卷積要先把核翻轉再滑動。由於濾波器的權重是學出來的，翻不翻轉沒有實質差別，各框架都直接實作互相關，但仍沿用「卷積」這個名稱。

步幅與填補

步幅（stride） $s$ ：濾波器每次移動的格數。 $s = 2$ 時，輸出的高與寬大約減半。
填補（padding） $p$ ：在輸入的四周補上 $p$ 圈 0，稱為零填補（zero padding）。它有兩個作用：避免輸出隨層數增加而快速縮小，以及讓邊緣像素也能被濾波器充分使用。

兩種慣用的填補設定：

valid：不填補， $p = 0$ ，輸出會比輸入小。
same：選擇 $p$ 使輸出的高寬與輸入相同。在 $s = 1$ 、 $f$ 為奇數時， $p = (f - 1)/2$ ，例如 3×3 濾波器配 $p = 1$ 。

輸出尺寸

輸入的高（或寬）為 $n$ 時，輸出的高（或寬）為：

n_{\text{out}} = \left\lfloor \frac{n + 2p - f}{s} \right\rfloor + 1

高與寬分別套用同一個公式。分數不能整除時代表濾波器最後一步會超出輸入邊界，這個位置直接捨棄，所以要向下取整。例如 $n = 7$ 、 $f = 3$ 、 $p = 0$ 、 $s = 2$ 時輸出為 $\lfloor 4/2 \rfloor + 1 = 3$ ； $n = 8$ 時為 $\lfloor 5/2 \rfloor + 1 = 3$ ，最右側一欄沒有被用到。

參數數量

每個濾波器有 $f \cdot f \cdot c_{\text{in}}$ 個權重，加上 1 個偏差，因此一個卷積層的參數量為：

P_{\text{conv}} = (f \cdot f \cdot c_{\text{in}} + 1) \cdot K

例如輸入有 64 個通道，使用 128 個 3×3 濾波器： $(3 \cdot 3 \cdot 64 + 1) \cdot 128 = 73{,}856$ 。這個數字與輸入的高寬無關，無論輸入是 32×32 還是 1,024×1,024 都一樣。

10.3池化層與全連接層Pooling and Fully Connected Layers

池化層

池化層（pooling layer）的目的是降採樣（downsampling）：縮小特徵圖的高寬，減少後續的計算量，並讓表示對小幅平移較不敏感。常見的有兩種：

最大池化（max pooling）：取視窗內的最大值，最常用。直覺上，只要某個特徵在視窗內任何位置出現過，就把它保留下來。
平均池化（average pooling）：取視窗內的平均值。早期的 LeNet-5 使用它；現代網路多半只在最後用全域平均池化（global average pooling），把每張特徵圖平均成一個數值。

池化層有幾個固定的特性：

常見設定為 $f = 2, s = 2$ （高寬減半），或 $f = 3, s = 2$ （視窗互相重疊，AlexNet 採用）。
每個通道獨立處理，只改變高與寬，深度不變。
沒有可學習的參數， $f$ 與 $s$ 都是事先決定的超參數。
很少使用填補，因為池化的目的本來就是縮小尺寸。輸出尺寸公式與卷積層相同，取 $p = 0$ 即為 $\lfloor (n - f)/s \rfloor + 1$ 。

全連接層

全連接層（fully connected layer, FC）中，每個單元都連接到前一層的所有輸出。CNN 通常在最後幾層把特徵圖攤平（flatten）成向量，接上全連接層與 softmax 輸出層。若第 $l$ 層有 $n^{[l]}$ 個單元，前一層有 $n^{[l-1]}$ 個輸出，參數量為：

P_{\text{FC}} = n^{[l]} \cdot n^{[l-1]} + n^{[l]}

前項是權重矩陣 $W^{[l]}$ （大小 $n^{[l]} \times n^{[l-1]}$ ），後項是偏差向量 $b^{[l]}$ 。

全連接層是參數的大宗。AlexNet 與 VGG 的末端各有三層全連接層，佔了絕大部分參數：VGG-16 約 1.38 億個參數中，約 1.24 億個在全連接層，光是第一個全連接層（ $7 \cdot 7 \cdot 512 = 25{,}088$ 個輸入、4,096 個輸出）就有約 1.03 億個。相對地，激勵值所佔的記憶體則集中在前段高解析度的卷積層。也因此，後來的架構多改以全域平均池化取代大型的全連接層。

1×1 卷積與 Inception 模組

1×1 卷積（1×1 convolution）看似只是把每個像素乘上一個常數，但濾波器的深度等於輸入的通道數，所以它其實是在每個像素位置上，對所有通道做加權組合，相當於「逐像素的全連接層」。它最主要的用途是調整通道數，例如把 28×28×192 壓縮成 28×28×16，同時多加一層非線性。

Inception 模組（Inception module）把 1×1、3×3、5×5 卷積與 3×3 最大池化平行排列，全部使用 same 填補以保持高寬一致，再沿深度方向串接（concatenate）輸出，讓網路自己學習哪一種尺度的特徵有用。為了避免 5×5 卷積的計算量過大，會先用 1×1 卷積作為瓶頸層（bottleneck layer）降低通道數。以 28×28×192 的輸入、產生 32 個通道的 5×5 卷積為例（ $28 \cdot 28 = 784$ ）：

做法	乘法次數	約
直接 5×5 卷積（192 → 32）	$784 \cdot 32 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 192)$	1.2 億
先 1×1 卷積（192 → 16）	$784 \cdot 16 \cdot 192$	240 萬
再 5×5 卷積（16 → 32）	$784 \cdot 32 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 16)$	1,000 萬

加入瓶頸層後合計約 1,240 萬次乘法，約為原本的十分之一，而且實驗上幾乎不影響表現。

10.4計算範例A Worked Example

以一個小型 CNN 為例，輸入為 32×32×3 的彩色影像，輸出 3 個類別。下表列出每一層的輸出形狀、激勵值數量與參數量：

層	輸出形狀	激勵值	參數量
輸入	32×32×3	3,072	0
卷積 5×5， $s=1$ ， $K=6$	28×28×6	4,704	$(5\cdot5\cdot3+1)\cdot6=456$
最大池化 2×2， $s=2$	14×14×6	1,176	0
全連接 64	64	64	$1{,}176\cdot64+64=75{,}328$
全連接 32	32	32	$64\cdot32+32=2{,}080$
Softmax 3	3	3	$32\cdot3+3=99$

逐層的計算如下：

卷積層：不填補（valid），輸出邊長為 $(32 + 0 - 5)/1 + 1 = 28$ ；6 個濾波器使深度變成 6。每個濾波器有 $5 \cdot 5 \cdot 3 = 75$ 個權重加 1 個偏差，共 76 個參數，6 個濾波器合計 456 個。
池化層：輸出邊長為 $(28 - 2)/2 + 1 = 14$ ，深度維持 6，沒有參數。
第一個全連接層：先把 14×14×6 攤平成 1,176 維的向量，連接到 64 個單元，權重 $1{,}176 \cdot 64 = 75{,}264$ 個，加上 64 個偏差，共 75,328 個。
其餘全連接層：64 → 32 有 $64 \cdot 32 + 32 = 2{,}080$ 個參數；32 → 3 的 softmax 輸出層有 $32 \cdot 3 + 3 = 99$ 個。

全部參數合計 $456 + 75{,}328 + 2{,}080 + 99 = 77{,}963$ 個，其中第一個全連接層就佔了約 97%。

10.5經典架構Classic Architectures

CNN 架構的演進，很大程度是由 ImageNet 大規模視覺辨識挑戰賽（ILSVRC）推動的。下表整理幾個里程碑：

年份	架構	重點
1998	LeNet-5	約 6 萬個參數；5×5 卷積搭配平均池化，用於手寫數字辨識
2012	AlexNet	約 6,000 萬個參數；8 層（5 層卷積 + 3 層全連接）；ReLU、dropout、局部響應正規化（LRN）；拆在 2 張 GPU 上訓練
2014	VGG-16/19	約 1.38 億個參數（VGG-16）；只用 3×3 same 卷積與 2×2 最大池化；以 4 張 GPU 訓練 2–3 週
2014	GoogLeNet	22 層；Inception 模組；以全域平均池化取代大型全連接層，參數僅約 500 萬–700 萬
2015	ResNet	殘差連接 $y = F(x) + x$ ；ImageNet 上訓練了 18–152 層的網路（CIFAR-10 上甚至超過 1,000 層）

AlexNet 與 VGG

AlexNet 在 2012 年大幅領先傳統方法，讓深度學習在電腦視覺領域受到全面關注。它的許多設計後來成為標準做法：以 ReLU 取代 sigmoid／tanh 加快訓練，以 dropout 抑制全連接層的過擬合（見第 9 章）。局部響應正規化則在之後的研究中被發現幫助有限，已少有人使用。

VGG 的設計哲學是「簡單而一致」：所有卷積都是 3×3、步幅 1、same 填補，每經過一次 2×2 最大池化就把高寬減半、通道數加倍。兩層 3×3 卷積的感受野等於一層 5×5，三層等於一層 7×7，但參數更少、非線性更多。名稱中的 16 與 19 指的是有權重的層數，包含末端的 3 層全連接層。VGG 的代價是龐大：前向傳播一張影像約產生 2,400 萬個激勵值，以 32 位元浮點數（4 bytes）計算約 96 MB，反向傳播還要再多約一倍。

GoogLeNet 與 ResNet

GoogLeNet 由多個 Inception 模組堆疊而成，雖有 22 層，參數卻遠少於 AlexNet。關鍵在於大量使用 1×1 瓶頸層，以及在最後以全域平均池化取代大型全連接層，只保留一層線性分類層。

ResNet 處理的是另一個問題：網路加深到一定程度後，連訓練集誤差都會上升。這不是過擬合，而是最佳化變得困難。殘差區塊（residual block）讓一組層學習的不是目標映射 $H(x)$ 本身，而是殘差 $F(x) = H(x) - x$ ，輸出為：

y = F(x) + x

這條跳躍連接（skip connection）帶來兩個好處：若恆等映射已經足夠好，網路只需要把 $F$ 推向 0；反向傳播時，梯度也能經由這條捷徑直接往前傳，不必穿過每一層。當 $F(x)$ 與 $x$ 的維度不同時，捷徑上會加一個 1×1 卷積做投影。ResNet 在 2015 年以 152 層的網路贏得 ILSVRC，之後成為大多數視覺模型的骨幹（backbone）。

10.6物件偵測Object Detection

分類、定位與偵測

電腦視覺中有三個難度遞增的任務：

影像分類（image classification）：判斷影像中是什麼，例如「這是一輛車」。
分類與定位（classification with localization）：除了類別，還要用一個邊界框（bounding box）標出單一主要物體的位置。
物件偵測（object detection）：影像中可能有多個、不同類別的物體，要全部找出並各自框出。

邊界框通常以中心座標 $b_x, b_y$ 與高寬 $b_h, b_w$ 表示，並以影像的寬高正規化到 0 到 1 之間。對 $C$ 個類別的定位任務，網路的目標輸出可以寫成一個向量：

y = \begin{bmatrix} p_c & b_x & b_y & b_h & b_w & c_1 & \cdots & c_C \end{bmatrix}^{\top}

其中 $p_c$ 表示影像中是否有物體， $c_1, \dots, c_C$ 表示是哪一類。若 $p_c = 0$ （只有背景），其餘欄位沒有意義，損失函數只計算 $p_c$ 這一項； $p_c = 1$ 時才計算所有欄位的誤差。實務上各部分常用不同的損失： $p_c$ 用邏輯損失、類別用 softmax 交叉熵、座標用平方誤差。

特徵點偵測

特徵點偵測（landmark detection）把同樣的想法推廣：讓網路直接輸出若干個關鍵點的座標 $(l_{1x}, l_{1y}), \dots, (l_{kx}, l_{ky})$ ，例如臉部的眼角與嘴角，或人體姿態估計中的關節位置。要注意的是，每個特徵點在所有訓練資料中的編號順序必須一致，例如第 1 點永遠是左眼外眼角。

滑動視窗與其卷積實作

最直觀的偵測方法是滑動視窗（sliding windows）：先訓練一個能判斷「裁切後的小影像是不是車輛」的分類器，再用不同大小的視窗、以某個步幅滑過整張影像，逐一分類。問題在於計算成本：步幅小時視窗數量龐大，每個視窗都要跑一次 CNN；步幅大又會讓定位變得粗糙。

解法是把全連接層改寫成卷積層。一個作用在 5×5×16 特徵圖上、有 400 個單元的全連接層，等價於 400 個 5×5×16 的濾波器，輸出 1×1×400；之後的全連接層則等價於 1×1 卷積。改寫後，網路不再限制輸入尺寸。下表是一個在 14×14×3 視窗上訓練的網路，直接輸入 16×16×3 影像時的結果：

層	14×14×3 輸入	16×16×3 輸入
卷積 5×5，16 個濾波器	10×10×16	12×12×16
最大池化 2×2， $s=2$	5×5×16	6×6×16
FC 400 → 5×5 卷積，400 個	1×1×400	2×2×400
FC 400 → 1×1 卷積，400 個	1×1×400	2×2×400
Softmax 4 → 1×1 卷積，4 個	1×1×4	2×2×4

輸出的 2×2 中每一格，恰好對應一個 14×14 視窗的分類結果（視窗步幅為 2，等於池化步幅）。四個視窗重疊部分的計算只做一次，這就是滑動視窗的卷積實作（OverFeat, Sermanet et al., 2014）。不過，邊界框的位置與大小仍受限於視窗的格點與尺寸，不夠精確。

YOLO

YOLO（You Only Look Once；Redmon et al.，CVPR 2016，arXiv 2015）把偵測視為一次前向傳播就完成的迴歸問題：

將影像切成 $S \times S$ 的網格（grid）。
每個物體只指派給「中心點所在的格子」負責。
每個格子同時預測邊界框（含 $p_c$ 與座標）與類別機率，所有格子的結果在同一次前向傳播中算出。

座標是相對於格子定義的： $b_x, b_y$ 是中心點在格子內的相對位置，介於 0 與 1 之間； $b_h, b_w$ 在本章（沿用 deeplearning.ai 課程的寫法）以格子邊長為單位，可以大於 1，因為物體可能跨越好幾個格子；原始 YOLOv1 論文則以整張影像的寬高正規化 $w, h$ 。原始的 YOLO 使用 $S = 7$ ，每個格子預測 2 個框與 20 個類別的機率，輸出為 $7 \times 7 \times (2 \cdot 5 + 20) = 7 \times 7 \times 30$ 。由於是卷積實作，網格中的格子共用同一次運算，速度足以做即時偵測。

錨框

如果每個格子只輸出一組預測，就無法處理兩個中心點落在同一格的物體，例如站在車子前方的行人。錨框（anchor box）預先定義幾種不同形狀的參考框，例如瘦高的、扁寬的，每個格子對每一個錨框各輸出一組預測。訓練時，每個物體指派給「中心點所在的格子」與「形狀和它的 IoU 最高的錨框」這一組。

使用 $A$ 個錨框、 $C$ 個類別時，輸出的形狀為 $S \times S \times A \times (5 + C)$ 。例如 3×3 網格、2 個錨框、3 個類別，輸出就是 $3 \times 3 \times 2 \times 8$ ，也可以寫成 $3 \times 3 \times 16$ 。錨框也讓每一組輸出專門負責某一類形狀，使預測更穩定。錨框最早用於 Faster R-CNN，YOLOv2（Redmon & Farhadi, 2017）將它引入 YOLO，並以 k-means 對訓練資料中的邊界框分群來挑選錨框的形狀。若同一格中的物體數多於錨框數，或兩個物體對應到同一個錨框，這個做法仍處理不好，不過網格夠細時這種情況很少見。

YOLO 的完整推論流程是：前向傳播得到所有格子、所有錨框的預測 → 以 $p_c$ 乘上類別機率作為每個框的分數，捨棄分數過低的框 → 對每個類別分別做非極大值抑制（見下一節），得到最後的偵測結果。

10.7交併比與非極大值抑制IoU and Non-Max Suppression

交併比

交併比（Intersection over Union, IoU）衡量兩個邊界框的重疊程度，定義為交集面積除以聯集面積：

\operatorname{IoU}(A, B) = \frac{\operatorname{area}(A \cap B)}{\operatorname{area}(A \cup B)} = \frac{\operatorname{area}(A \cap B)}{\operatorname{area}(A) + \operatorname{area}(B) - \operatorname{area}(A \cap B)}

IoU 介於 0（完全不重疊）與 1（完全重合）之間。在偵測中它有三個用途：評估預測框是否正確（IoU ≥ 0.5 常被視為「定位正確」，需要更精確時可提高門檻）、在非極大值抑制中判斷兩個框是否指向同一個物體，以及在訓練時把物體指派給錨框。常見的評估指標平均精確率均值（mean Average Precision, mAP）也建立在 IoU 門檻之上。

以左上角與右下角座標表示邊界框時，計算方式如下。注意交集的寬高可能為負（兩框不重疊），要取 0：

def iou(box_a, box_b):
    """box = (x1, y1, x2, y2)，分別為左上角與右下角座標。"""
    x1 = max(box_a[0], box_b[0])
    y1 = max(box_a[1], box_b[1])
    x2 = min(box_a[2], box_b[2])
    y2 = min(box_a[3], box_b[3])
    inter = max(0, x2 - x1) * max(0, y2 - y1)
    area_a = (box_a[2] - box_a[0]) * (box_a[3] - box_a[1])
    area_b = (box_b[2] - box_b[0]) * (box_b[3] - box_b[1])
    return inter / (area_a + area_b - inter)

非極大值抑制

一個物體往往被好幾個相鄰的格子或錨框同時偵測到，產生多個高度重疊的框。非極大值抑制（non-max suppression, NMS）的作用是對每個物體只保留最有把握的那一個框。對每個類別分別執行：

捨棄分數低於門檻（例如 0.6）的框。
在剩下的框中，選出分數最高的一個，列為輸出。
移除所有與它的 IoU 大於或等於門檻（例如 0.5）的其他框，因為它們很可能框的是同一個物體。
重複步驟 2 與 3，直到沒有剩餘的框。

兩個門檻都是需要依應用調整的超參數：IoU 門檻設得太低，彼此靠近的不同物體可能被誤刪；設得太高，則同一物體會留下重複的框。

10.8兩階段偵測器Two-Stage Detectors: the R-CNN Family

YOLO 屬於單階段（one-stage）偵測器。另一條路線先提出「可能有物體」的候選區域（region proposals），再對每個區域做分類與邊界框修正，稱為兩階段（two-stage）偵測器。R-CNN 系列的演進，可以濃縮成三個步驟：先提出區域、再改成一次卷積處理所有區域，最後連區域提議也由網路端到端完成。

R-CNN（Girshick et al.，CVPR 2014，arXiv 2013）：以選擇性搜尋（selective search）演算法提出約 2,000 個候選區域，把每個區域縮放成固定大小，各自通過 CNN 擷取特徵，再用 SVM 分類並以迴歸修正邊界框。準確度大幅提升，但非常慢：每個區域都要跑一次完整的 CNN，重疊區域被重複計算。
Fast R-CNN（Girshick，ICCV 2015）：整張影像只卷積一次，得到共用的特徵圖；再把候選區域投影到特徵圖上，以 RoI 池化（RoI pooling）切成固定大小（例如 7×7），接上全連接層，同時輸出類別與邊界框修正，兩者可以一起訓練。此時的瓶頸只剩下候選區域仍由選擇性搜尋產生。
Faster R-CNN（Ren et al.，NIPS 2015）：加入區域提議網路（Region Proposal Network, RPN），與偵測網路共用卷積特徵，在特徵圖的每個位置以多個錨框預測「是否有物體」與框的修正量。區域提議本身也由網路學習，整個流程成為端到端（end-to-end）的模型。

方法	候選區域	卷積計算	核心改進
R-CNN	選擇性搜尋	每個區域各做一次	以 CNN 特徵分類候選區域
Fast R-CNN	選擇性搜尋	整張影像一次	RoI 池化、共用特徵圖
Faster R-CNN	RPN（網路學習）	整張影像一次	端到端，含區域提議

一般而言，兩階段偵測器的準確度較高，尤其在小物體上；單階段偵測器速度快，適合即時應用。兩條路線後來互相借鏡（例如 YOLO 引入錨框），差距已明顯縮小。

10.9參考資料References

Goodfellow, Bengio & Courville, Deep Learning, MIT Press, 2016，第 9 章 Convolutional Networks。
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Lin, Chen & Yan, "Network in Network", ICLR 2014；Szegedy et al., "Going Deeper with Convolutions", CVPR 2015。
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